Question

在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则M的坐标

（

2 6

3

，-1）

．

Answer 1

分析：根据椭圆的方程求得椭圆离心率为e=

1

2

，右准线方程：x=4．作出椭圆的右准线l，过M点作MN⊥l于N，根据圆锥曲线的统一定义，得

|MF|

|MN|

=e=

1

2

，所以2|MF|=|MN|，欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．作PN₀⊥l于N₀，交椭圆于M₀，由平几知识可得，当动点M在椭圆上运动，与点M₀重合时，|MP|+|MN|取到最小值．最后设出点M₀的坐标，代入椭圆方程，解之即可得到使|MP|+2|MF|的值最小的点M的坐标．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
∴a²=4，b²=3，可得c=

a2-b2

=1
所以椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

，右准线方程：x=

a2

c

=4
作出椭圆的右准线l如图，过M点作MN⊥l于N，
根据圆锥曲线的统一定义，得

|MF|

|MN|

=e=

1

2

，
∴2|MF|=|MN|，所以|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|．
欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值，
过P（1，-1）作PN₀⊥l于N₀，交椭圆于M₀，由平面几何知识可得，当动点M在椭圆上运动，与点M₀重合时，|MP|+2|MF|取到最小值．
设M₀（x₀，-1），代入椭圆方程得

x02

4

+

(-1)2

3

=1，解之得x₀=

2 6

3

（舍负）
∴使|MP|+2|MF|的值最小的点M的坐标为（

2 6

3

，-1）．
故答案为：（

2 6

3

，-1）．

点评：本题以椭圆中求距离和的最小值的问题为载体，着重考查了椭圆的基本概念和圆锥曲线的统一定义等知识点，属于中档题．