Question

2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a²+b²+c²=1，x²+y²+z²=4，ax+by+cz=2，则$\frac{a+b+c}{x+y+z}$（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根据所给“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可．

解答 解：由柯西不等式得，（a²+b²+c²）（$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$y²+$\frac{1}{4}$z²）≥（$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$by+$\frac{1}{2}$cz）²，
当且仅当$\frac{a}{\frac{1}{2}x}=\frac{b}{\frac{1}{2}y}=\frac{c}{\frac{1}{2}z}$时等号成立
∵a²+b²+c²=1，x²+y²+z²=4，ax+by+cz=2，
∴（a²+b²+c²）（$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$y²+$\frac{1}{4}$z²）≥（$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$by+$\frac{1}{2}$cz）²中等号成立，
∴一定有：$\frac{a}{\frac{1}{2}x}=\frac{b}{\frac{1}{2}y}=\frac{c}{\frac{1}{2}z}$，
∴$\frac{a+b+c}{x+y+z}$=$\frac{1}{2}$．
故选：C

点评 柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．