Question

已知D是△ABC边BC延长线上一点，记．若关于x的方程2sin²x-（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是（ ）
A．λ＜-2
B．λ＜-4
C．
D．λ＜-4或

Answer 1

【答案】分析：根据题意，由D是BC延长线上一点，=（-λ） ，得到λ＜0；令sinx=t，方程2t²-（λ+1）t+1=0在（-1，1）上有唯一解，（2-（λ+1）+1）•（2+（λ+1）+1）＜0①，或△=（λ+1）²-8=0②，解出λ 范围．
解答：解：∵=λ +（1-λ）=+λ（ - ）=+λ =+（-λ）．
又∵=+，∴=（-λ） ，由题意得-λ＞0，∴λ＜0．
∵关于x的方程2sin²x-（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，令sinx=t，由正弦函数的图象知，
方程 2t²-（λ+1）t+1=0 在（-1，1）上有唯一解，
∴[2-（λ+1）+1]•[2+（λ+1）+1]＜0  ①，或△=（λ+1）²-8=0  ②，
由①得 λ＜-4 或λ＞2（舍去）．  由②得  λ=-1-2 ，或 λ=-1+2 （舍去）．
故选D．
点评：本题考查一元二次方程根的分布，两个向量加减法及其几何意义，有题意得到方程 2t²-（λ+1）t+1=0在（-1，1）上有唯一解是解题的难点．