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已知正方形ABCD,E、F分别是AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为θ(0<θ<π).

(1)证明BF∥平面ADE;

(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BC?DE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.

解析:(1)证明:E、F分别是正方体ABCD的边AB、CD的中点.

∴EB∥FD,且EB=FD.

∴四边形EBFD是平行四边形.

∴BF∥ED.

∵ED平面AED,而BF平面AED.

∴BF∥平面AED.  

(2)解法一:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过点A作AG⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC、GD.

∵△ACD为正三角形.

∴AC=AD,∴GC=GD.

∴G在CD的垂直平分线上.

又∵EF是CD的垂直平分线,∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.    

过G作GH⊥ED.垂足为H.连结AH,则AH⊥DE,∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角.即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF.

在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,

∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=.

在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.   

解法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,连结AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥EF,垂足为G′.

∵△ACD为正三角形,F为CD的中点.

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,∴CD⊥平面AEF.

∵AG′平面AEF,∴CD⊥AG′.

又∵AG′⊥EF.且CD∩EF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE.∴AG′⊥平面BCDE.

∴G′为A在平面BCDE内的射影G.

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.  过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a.

在折后图的△AEF中,AF=r,EF=2AF=2a.

∴△AEF为直角三角形,AC·EF=AE·AF.

∴AG=.

在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.   

解法三:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,连结AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥EF,垂足为G′.

∵△ACD为正三角形,F为CD中点,∴AF⊥CD.又∵EF⊥CD,∴CD⊥平面AEF.

∵CD平面BCDE.

∴平面AEF⊥平面BCDE.

又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF.

∴AG′⊥平面BCDE,即G′为A在平面BCDE内的射影G.∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过G作GH⊥DE,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a.

在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,

∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=.

在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.


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.
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.
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.
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|
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