Question

已知正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ(0＜θ＜π).

(1)证明BF∥平面ADE；

(2)若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BC?DE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的余弦值.

Answer 1

解析：(1)证明：E、F分别是正方体ABCD的边AB、CD的中点.

∴EB∥FD，且EB=FD.

∴四边形EBFD是平行四边形.

∴BF∥ED.

∵ED平面AED，而BF平面AED.

∴BF∥平面AED.  

(2)解法一：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连结GC、GD.

∵△ACD为正三角形.

∴AC=AD，∴GC=GD.

∴G在CD的垂直平分线上.

又∵EF是CD的垂直平分线，∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.    

过G作GH⊥ED.垂足为H.连结AH，则AH⊥DE，∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角.即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a，连结AF.

在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF.

∴AG=.

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.   

解法二：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，连结AF，在平面AEF内过点A作AG′⊥EF，垂足为G′.

∵△ACD为正三角形，F为CD的中点.

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD，∴CD⊥平面AEF.

∵AG′平面AEF，∴CD⊥AG′.

又∵AG′⊥EF.且CD∩EF=F，CD平面BCDE，EF平面BCDE.∴AG′⊥平面BCDE.

∴G′为A在平面BCDE内的射影G.

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.  过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE－C的平面角，即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a.

在折后图的△AEF中,AF=r,EF=2AF=2a.

∴△AEF为直角三角形，AC·EF=AE·AF.

∴AG=.

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.   

解法三：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，连结AF，在平面AEF内过点A作AG′⊥EF，垂足为G′.

∵△ACD为正三角形，F为CD中点，∴AF⊥CD.又∵EF⊥CD，∴CD⊥平面AEF.

∵CD平面BCDE.

∴平面AEF⊥平面BCDE.

又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF.

∴AG′⊥平面BCDE，即G′为A在平面BCDE内的射影G.∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过G作GH⊥DE，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a.

在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF.

∴AG=.

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.