Question

如图，在四面体S-ABC中，E、F、G、H、M、N分别是棱SA、BC、AB、SC、AC、SB的中点，且EF=GH=MN，求证：SA⊥BC，SB⊥AC，SC⊥AB．

Answer 1

分析：本题是一个证明线线垂直的问题，可以取SA，SB，SC三个有向线段对应的向量为基向量，将SA，BC，SB，AC，SC，AB这六个线段对应的向量用基向量表示出来利用数量积为0证明线线垂直．

解答：证明：如图，设

SA

=

r1

，

SB

=

r2

，

SC

=

r3

，则

SE

，

SF

，

SG

，

SH

，

SM

，

SN

分别为

1

2

r1

，

1

2

(

r2

+

r3

)，

1

2

(

r1

+

r2

)，

1

2

r3

，

1

2

(

r1

+

r3

)，

1

2

r2

…（4分）
由条件EF=GH=MN得：(

- r1 + r2 + r3

2

)2=(

r1 + r2 - r3

2

)2=(

r1 - r2 + r3

2

)2
展开得

r1

•

r2

=

r2

•

r3

=

r1

•

r3

 …（7分）
∴

r1•

(

r2

-

r3

)=0∵

r1

≠

0

，

r2

-

r3

≠

0

…（9分）
∴

r1

⊥(

r2

-

r3

)，即SA⊥BC…（12分）
同理可证SB⊥AC，SC⊥AB…（14分）

点评：本题考查用向量语言表述线线的垂直关系，解题的关键是将垂直证明问题转化为向量运算，利用向量的数量积为0证明线线垂直，利用空间向量证明几何问题是向量的重要运用，在近几年的高考中，这是一个比较热的考点