Question

12．求证：函数f（x）=-x²+x在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是单调递增函数．

Answer 1

分析 定义法：任取x₁＜x₂∈（-∞，$\frac{1}{2}$）且x₁＜x₂，作差变形判断f（x₁）-f（x₂）＜0可得结论．

解答 证明：任取x₁＜x₂∈（-∞，$\frac{1}{2}$）且x₁＜x₂，
作差可得f（x₁）-f（x₂）=（-x₁²+x₁）-（-x₂²+x₂）
=x₂²-x₁²+x₁-x₂=（x₁-x₂）（1-x₁-x₂），
∵x₁＜x₂∈（-∞，$\frac{1}{2}$）且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁-x₂＞0，
∴（x₁-x₂）（1-x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=-x²+x在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是单调递增函数

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，涉及定义法证明函数的单调性，属基础题．