Question

如图，在△ABC中，已知A（，0），B（，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为H，且，
（Ⅰ）求点H的轨迹方程；
（Ⅱ）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在F，H之间），且满足，求λ的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）设点H的坐标为（x，y），C点坐标为（x，m），则D（x，0），
∴，
∴m=2y，
故C点为（x，2y），
∵，
∴，x²+2y²=2，
故点H的轨迹方程为（y≠0）；
（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y=kx+2，
代入椭圆方程，得，
由Δ＞0得，
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
则，
又∵，
∴（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2），
∴x₁=λx₂，
∴x₁+x₂=（1+λ）x₂，，
∴，
∴，
整理得，
，
∴，
∴，解得，
时，，
∴，
又∵0＜λ＜1，
∴；
又当直线GH斜率不存在，方程为x=0，，
∴。