Question

4．已知△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1．AD是∠BAC的角平分线，交BC于D．
（Ⅰ）求BD：DC的值；
（Ⅱ）求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在三角形ABD与三角形ACD中，分别利用正弦定理列出关系式，根据AD为角平分线，互补两角正弦值相等，即可求出BD：DC的值；
（Ⅱ）三角形ABC面积=三角形ABD面积+三角形ACD面积，利用三角形面积公式列出关系式，即可求出AD的长．

解答 解：（Ⅰ）在△ABD中，$\frac{AB}{sin∠ADB}$=$\frac{BD}{sin∠BAD}$，在△ACD中，$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{CD}{sin∠CAD}$，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠BAD=∠CAD，
∵sin∠ADB=sin∠ADC，且AB=2，AC=1，
则BD：DC=AB：AC=2：1；
（Ⅱ）∵∠BAC=120°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，即$\frac{1}{2}$AB•AC•sin∠BAC=$\frac{1}{2}$AB•AD•sin∠BAD+$\frac{1}{2}$AC•AD•sin∠CAD，
∴$\frac{1}{2}$×2×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×AD×（2+1），
解得：AD=$\frac{2}{3}$．

点评 此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．