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10.如图,正方形ABCD中,E是AB的中点,CE与以BC为直径的半圆O交于点F,C
(Ⅰ)证明:DF与圆O相切
(Ⅱ)证明:△DCF∽△OBF.

分析 (Ⅰ)连接OD,通过证明:△FOD≌△COD,得到∠DFO=∠DCO=90°,即可证明DF与圆O相切;
(Ⅱ)通过证明:$\frac{DF}{OF}=\frac{DC}{OB}$,即可证明△DCF∽△OBF.

解答 (Ⅰ)证明:连接OD,
∵正方形ABCD中,E、O分别是AB、BC的中点,
∴EB=OC,
∵BC=CD,∠EBC=∠OCD=90°,
∴△EBC≌△OCD,
∴∠BEC=∠COD,
∵BF⊥EC,
∴∠BEC=∠FBC,
∴∠FBC=∠COD,
∴BF∥OD,
∴∠BFO=∠FOD,
∴∠FPD=∠COD,
∵OF=OC,OD=OD,∴△FOD≌△COD,
∴∠DFO=∠DCO=90°,
∴DF与圆O相切;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得∠DFO=∠DCO=90°,
∴∠DFO+∠DCO=180°,
∴C,D,F,O四点共圆,
∴∠BOF=∠CDF,
∵DF=DC,
∴$\frac{DF}{OF}=\frac{DC}{OB}$,
∴△DCF∽△OBF.

点评 本题考查直线与圆的位置关系,考查三角形全等的证明,考查三角形相似的证明,属于中档题.

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