Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求函数f（x）在区间[2，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；

证明：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，

∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，所以，f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数

（2）解：由（1）知，f（x）在[2，4]上是增函数．

所以最大值为 ，

最小值为

【解析】（1）利用函数的大小定义进行证明即可；（2）根据（1）的结论，利用单调性得到最值．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数的最值及其几何意义，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值即可以解答此题．