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12.斜率为1的动直线L与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$交于P,Q两点,M是L上的点,且满足|MP|•|MQ|=2,求点M的轨迹方程.

分析 设直线L的方程为:y=x+t,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(m,n).可得y1=x1+t,y2=x2+t,t=n-m.直线方程与椭圆方程联立可得:3x2+4tx+2t2-4=0,|MP|=$\sqrt{({x}_{1}-m)^{2}+({y}_{1}-n)^{2}}$=$\sqrt{2({x}_{1}-m)^{2}}$,同理可得:|MQ|=$\sqrt{2({x}_{2}-m)^{2}}$.利用|MP|•|MQ|=2,代入化简即可得出.

解答 解:设直线L的方程为:y=x+t,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(m,n).
则y1=x1+t,y2=x2+t,t=n-m.
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,化为:3x2+4tx+2t2-4=0,
△=16t2-12(2t2-4)>0,解得:t2<6.∴x1+x2=-$\frac{4t}{3}$,${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{t}^{2}-4}{3}$.
|MP|=$\sqrt{({x}_{1}-m)^{2}+({y}_{1}-n)^{2}}$=$\sqrt{2({x}_{1}-m)^{2}}$,
同理可得:|MQ|=$\sqrt{2({x}_{2}-m)^{2}}$.
∵|MP|•|MQ|=2,∴1=|(x1-m)(x2-m)|=$|{x}_{1}{x}_{2}-m({x}_{1}+{x}_{2})+{m}^{2}|$,
∴m2+2n2=1或7.
∴点M的轨迹为椭圆,其方程为m2+2n2=1或7.

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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