【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形且
,侧面
底面
,且侧面
是正三角形,
是
中点.
(1)证明:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)由侧面是正三角形,可知
,进而可知
底面
,从而可得
,再结合底面
为矩形且
,可得
,从而可知
,即
,即可证明
平面
;
(2)过作
的平行线
,显然
两两垂直,以
为原点建立如下图所示的空间直角坐标系,分别求出平面
的法向量
,平面
的法向量
,设二面角
的大小为
,易知
为钝角,可得
,求解即可.
(1)证明:因为侧面是正三角形,
是
的中点,所以
.
因为侧面底面
,侧面
底面
,所以
底面
,所以
.
因为底面为矩形且
,所以
.
所以,则
.
所以,即
.
又因为,所以
平面
.
(2)过作
的平行线
,显然
两两垂直,以
为原点建立如下图所示的空间直角坐标系,
不妨设,则点
,
,
,
,
所以,
,
.
设平面的法向量为
.
由,得
,
令,得平面
的法向量为
;
同理,设平面的法向量为
.
由得
,
令,得平面
的法向量为
.
设二面角的大小为
,易知
为钝角,则
.
所以二面角的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2020年冬奥会申办成功,让中国冰雪项目迎来了新的发展机会,“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场,对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用.某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜(ga)、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试(指标值满分为5分,分高者为优),根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图.则下面叙述正确的是( )
A.甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B.乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C.甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D.乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,其中
,
.
(1)当时,讨论函数
的单调性;
(2)当,且
时,
(i)若有两个极值点
,
,求证:
;
(ii)若对任意的,都有
成立,求正实数
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有下列说法:①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适.②相关指数来刻画回归的效果,
值越大,说明模型的拟合效果越好.③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好.其中正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆与抛物线
:
的准线交于
,
两点,且
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线:
与曲线
交于
,
两点,且曲线
上存在两点
,
关于直线
对称,求实数
的取值范围及
的取值范围.
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