【题目】已知椭圆C:1(a>b>0),椭圆C上的点到焦点距离的最大值为9,最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求椭圆C上的点到直线l:4x﹣5y+40=0的最小距离?
【答案】(1).(2).
【解析】
(1)根据题意列出方程组,求出,,,从而求出椭圆的标准方程.
(2)由题可知直线与椭圆不相交,将直线平移,可知其与椭圆相切时,切点到直线的距离最小或最大,据此可设直线平行于直线,将之与椭圆方程联立,进而得解.
(1)因为椭圆C上的点到焦点距离的最大值为9,最小值为1,
所以a+c=9,a﹣c=1,
∴a=5,c=4,
∴b2=a2﹣c2=9,
∴椭圆的标准方程为:;
(2)由直线l的方程与椭圆的方程可以知道,直线l与椭圆不相交,
设直线m平行于直线l,则直线m的方程可以写成4x﹣5y+k=0,
联立,整理得25x2+8kx+k2﹣225=0,
令△=0,得64k2﹣4×25(k2﹣225)=0
解得k1=25或k2=﹣25,
∴当k1=25时,直线m与椭圆交点到直线l的距离最近,
此时直线m的方程为4x﹣5y+25=0,
直线m与直线l间的距离d,
所以,椭圆C上的点到直线l:4x﹣5y+40=0的最小距离是.
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【题目】已知点为圆上任意一点,点,线段的中垂线交于点.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)若动直线与圆相切,且与动点的轨迹交于点、,求面积的最大值(为坐标原点).
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【题目】已知椭圆:的离心率,短轴的一个端点到焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率为的直线与椭圆交于,两点,线段的中点在直线上,求直线与轴交点纵坐标的最小值.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,底面ABCD,,,E、F分别是PC和AB的中点.
(1)证明:平面PAD;
(2)若,求PD与平面PBC所成角的正弦值.
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【题目】已知如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别为PC的三等分点.
(1)证明:AF∥平面EBD;
(2)已知AP=AD=1,AB=2,求二面角E-BD-A的余弦值.
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【题目】在一次调查中,甲、乙、丙、丁四位同学阅读量有如下关系:同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同,同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为________.
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【题目】某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,,,,,(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.
(1) 经计算估计这组数据的中位数;
(2)现按分层抽样从质量为,的芒果中随机抽取个,再从这个中随机抽取个,求这个芒果中恰有个在内的概率.
(3)某经销商来收购芒果,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有个,经销商提出如下两种收购方案:
A:所以芒果以元/千克收购;
B:对质量低于克的芒果以元/个收购,高于或等于克的以元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?
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