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【题目】已知函数f(x)=x|x﹣2a|+a2﹣4a(a∈R). (Ⅰ)当a=﹣1时,求f(x)在[﹣3,0]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若方程f(x)=0有3个不相等的实根x1 , x2 , x3 , 求 + + 的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)∵a=﹣1,

∴f(x)=x|x+2|+5=

x∈[﹣2,0]时,4≤f(x)≤5,

x∈[﹣3,﹣2]时,2≤f(x)≤5,

∴f(x)min=f(﹣3)=2,f(x)max=f(0)=5;

(Ⅱ)∵f(x)=

①若a>0,∵方程f(x)=0有3个不相等的实根,

故x<2a时,方程f(x)=﹣x2+2ax+a2﹣4a=0有2个不相等的实根,

x≥2a时,方程f(x)=x2﹣2ax+a2﹣4a=0有1个不相等的实根,

,解得:2<a<4,

不妨设x1<x2<x3,则x1+x2=2a,x1x2=﹣a2+4a,x3=a+2

+ + = + =﹣

+ + 的范围是( ,+∞),

②若a<0,当x>2a时,方程f(x)=x2﹣2ax+a2﹣4a=0的判别式小于0,

不符合题意;

③a=0时,显然不和题意,

+ + 的范围是( ,+∞)


【解析】(Ⅰ)求出f(x)的分段函数的解析式,从而求出函数的最大值和最小值即可;(Ⅱ)通过讨论a的范围,得到 + + 的表达式,从而求出a的范围即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点,需要掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值才能正确解答此题.

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