Question

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④“若k∈Z，若（a，b）⊆（2^k，2^k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”
其中所有正确结论的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；利用反证法及2^x变化如下：2，4，8，16，32，判断②命题错误；连续利用题中第③个条件得到③正确；据①③的正确性可得④是正确的．

解答：解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2-x．∴f（2）=0．f（1）=

1

2

f(2)=0．
∵f（2x）=2f（x），∴f（2^kx）=2^kf（x）．
①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0，∴①正确．
②设x∈（2，4]时，则

1

2

x∈(1，2]，∴f（x）=2f（

x

2

）=4-x≥0．
若x∈（4，8]时，则

1

2

x∈（2，4]，∴f（x）=2f（

x

2

）=8-x≥0．
…
一般地当x∈（2^m，2^m+1），
则

x

2m

∈（1，2]，f（x）=2^m+1-x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），∴②正确
③由②知当x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x≥0，
∴f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1=2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，
即2ⁿ-1=9，∴2ⁿ=10，
∵n∈Z，∴2ⁿ=10不成立，∴③错误；
④由②知当x⊆（2^k，2^k+1）时，f（x）=2^k+1-x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2^k，2^k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”．
∴④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查抽象函数的性质，考查了函数的单调性，以及学生的综合分析能力．