Question

正三棱锥P-ABC的底面边长为

2

a，侧棱PA=a，则二面角P-AB-C的大小是

arccos

3

3

．

Answer 1

分析：取AB的中点为D，再连接PD，CD，由题意可得：PD⊥AB，CD⊥AB，可得∠PDC是二面角P-AB-C的平面角．结合题中的条件可得：在△PDC中，有PD=

2

2

a，CD=

6

2

a，PC=a，
进而结合余弦定理可得答案．

解答：解：取AB的中点为D，再连接PD，CD，
因为棱锥P-ABC为正三棱锥，即PA=PB，AC=BC，
所以PD⊥AB，CD⊥AB，
所以∠PDC是二面角P-AB-C的平面角，即为所求角．
因为正三棱锥P-ABC的底面边长为

2

a，侧棱PA=a，
所以PD=

2

2

a，CD=

6

2

a，
在△PDC中，有PD=

2

2

a，CD=

6

2

a，PC=a，
所以由余弦定理可得：cos∠PDC=

3

3

，
所以二面角P-AB-C的大小是arccos

3

3

．
故答案为：arccos

3

3

．

点评：本题主要考查二面角的平面角，解决此类问题的步骤是：找角，证角，求角三步，其中根据二面角平面角的定义找角是解决问题的关键，此题属于中档题．