Question

12．计算$\root{3}{2+\sqrt{5}}$+$\root{3}{2-\sqrt{5}}$的值．

Answer 1

分析 设$\root{3}{2+\sqrt{5}}$=m，$\root{3}{2-\sqrt{5}}$=n，则m³+n³=2+$\sqrt{5}$+2-$\sqrt{5}$=4，mn=$\root{3}{2+\sqrt{5}}$×$\root{3}{2-\sqrt{5}}$=$\root{3}{4-5}$=-1，由此利用立方和公式得到（m+n）（m²+n²-mn）=4，由此能求出$\root{3}{2+\sqrt{5}}$+$\root{3}{2-\sqrt{5}}$的值．

解答 解：设$\root{3}{2+\sqrt{5}}$=m，$\root{3}{2-\sqrt{5}}$=n，
则m³+n³=2+$\sqrt{5}$+2-$\sqrt{5}$=4，mn=$\root{3}{2+\sqrt{5}}$×$\root{3}{2-\sqrt{5}}$=$\root{3}{4-5}$=-1，
∴（m+n）（m²+n²-mn）=4，
∴（m+n）[（m+n）²+3]=4，
∴（m+n）³+3（m+n）-4=0，
∴[（m+n）³-1]+3[（m+n）-1]=0，
∴[（m+n）-1][（m+n）²+（m+n）+4]=0，
解得m+1=1，
∴$\root{3}{2+\sqrt{5}}$+$\root{3}{2-\sqrt{5}}$=1．

点评 本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意立方和公式的合理运用．