Question

关于x的不等式

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x+m   2 1       x

.

＜0的解集为（-1，n）．
（1）求实数m、n的值；
（2）若z₁=m+ni，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂为纯虚数，求tan(α-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用二阶矩阵的计算法则把原不等式化简，然后根据解集为（-1，n），利用韦达定理列出关于m和n的方程，求出方程的解即可得到m与n的值；
（2）把（1）中求出的m与n的值代入到z₁=m+ni中确定出z₁，然后利用复数的乘法法则表示出z₁z₂，令实数部分等于0即可得到tanα的值，把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）原不等式等价于（x+m）x-2＜0，即x²+mx-2＜0（3分）
由题意得，

-1+n=-m -1×n=-2

解得m=-1，n=2．（5分）
（2）z₁=-1+2i，z₁z₂=（-cosα-2sinα）+i（2cosα-sinα）（7分）
若z₁z₂为纯虚数，则cosα+2sinα=0，即tanα=-

1

2

（9分）
所以tan(α-

π

4

)=

tanα-tan π 4

1+tanα•tan π 4

=

- 1 2 -1

1- 1 2

=-3（12分）

点评：此题考查学生掌握二阶矩阵及复数的运算法则，灵活运用韦达定理及两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道中档题．