Question

设正项数列的前项和为，向量，（）满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的通项公式为（），若，，（）成等差数列，求和的值；
(3)．如果等比数列满足，公比满足，且对任意正整数，仍是该数列中的某一项，求公比的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

试题分析：（1）由可以得到，即，利用，可得，即是以1为首项，2为公差的等差数列，从而求得通项公式；
（2）由是等差数列可得，即，整理得，根据m,t是正整数，所以t-1只可能是1,2,4，从而解得；
（3）易知，因为仍是该数列中的某一项，所以是该数列中的某一项，又是q的几次方的形式，所以也是q的几次方的形式，而，所以，所以只有可能是q，，所以，所以．
（1）∵，∴，∴①
当n=1，有，是正项数列，∴
当，有②，
①-②，得，，∴，
∴数列以，公差为2的等差数列，；
（2）易知，∵是等差数列，
即，∴，整理得，
∵m,t是正整数，所以t只可能是2,3,5，∴；
易知，∵仍是该数列中的某一项，记为第t项，∴，即，∵，∴，
，又∵，∴只有t-k=1，即，解得