Question

（2009•枣庄一模）有以下四个命题：
①若x，y∈R，i为虚数单位，且（x-2）i-y=-1+i，则（1+i）^x+y的值为-4；
②将函数f（x）=cos（2x+

π

3

）+1的图象向左平移

π

6

个单位后，对应的函数是偶函数；
③若直线ax+by=4与圆x²+y²=4没有交点，则过点（a，b）的直线与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1有两个交点；
④在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小．
其中所有正确命题的序号为

①③

．

Answer 1

分析：①利用复数的四则运算进行求值．②利用三角函数的图象和性质判断．③利用直线与圆的位置关系判断．④利用回归分析的知识进行判断．

解答：解：①由（x-2）i-y=-1+i，得x-2=1且-y=-1，解得x=3，y=1．所以x+y=4，
      所以（1+i）^x+y=（1+i）⁴=（2i）²=-4，所以①正确．
②将函数f（x）=cos（2x+

π

3

）+1的图象向左平移

π

6

个单位后，得到函数为y=cos[2(x+

π

6

)+

π

3

]+1=cos(2x+

2π

3

)+1，
   此时函数不是偶函数，所以②错误．
③因为直线ax+by=4与圆x²+y²=4没有交点，所以圆心到直线的距离d=

|4|

a2+b2

＞2，即

a2+b2

＜2，即点P（a，b）到原点的距离|OP|＜2，
因为由椭圆的方程可知，a=2，所以点P（a，b）在椭圆的内部，所以过点（a，b）的直线与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1有两个交点，所以③正确．
④可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
则对应相关指数越大，所以④错误．
故答案为：①③．

点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，要求熟练掌握相关的知识．