Question

如图，D、E分别是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、BB₁的中点，且棱AA₁=8，AB=4．
（Ⅰ）求证：A₁E∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点M，使二面角M-BC₁-B₁的大小为60°，若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在线段BC₁上取中点F，连接EF、DF，可得EF∥DA₁，且EF=DA₁，所以四边形EFDA₁是平行四边形，所以A₁E∥FD，再结合线面平行的判定定理可得线面平行．
（II）由题意可得：A₁E⊥平面CBB₁C₁．过点E作EH⊥BC₁与H，连接A₁H，则∠A₁HE为二面角A1-BC₁-B₁的平面角，再利用解三角形的有关知识得到此角大于60°，进而得到结论．

解答：解：（Ⅰ）在线段BC₁上取中点F，连接EF、DF，
所以EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四边形EFDA₁是平行四边形…2′
∴A₁E∥FD，又A₁E?平面BDC₁，FD?平面BDC₁，
∴A₁E∥平面BDC₁．…4′
（II）由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥C₁C，可得A₁E⊥平面CBB₁C₁．
过点E作EH⊥BC₁与H，连接A₁H，
则∠A₁HE为二面角A1-BC₁-B₁的平面角，
在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4可得BC₁边上的高为

8 5

5

，
所以EH=

4 5

5

，
又A₁E=2

3

，
所以tan∠A₁HE=

A1E

EH

=

15

2

＞

3

，
所以∠A₁HE＞60°．
所以M在棱AA₁上时，二面角M-BC₁-B₁总大于60°．
故棱AA₁上不存在使二面角M-BC₁-B₁的大小为60°的点M．…12′

点评：本题考查用线面平行的判定定理证明线面平行，以及求二面角的平面角，而空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键．