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已知函致f (x)=x3+bx2+cx+d.
(I)当b=0时,证明:曲线y=f(x)与其在点(0,f(0))处的切线只有一个公共点;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为12x+y-13=0,且它们只有一个公共点,求函数y=f(x)的所有极值之和.
分析:(Ⅰ)当b=0时,f(x)=x3+cx+d,f′(x)=3x2+c.f(0)=d,f′(0)=c.曲线y=f(x)与其在点(0,f(0))处的切线为y=cx+d.由此能够证明曲线y=f(x)与其在点(0,f(0))处的切线只有一个公共点.
(Ⅱ)由已知,切点为(1,1).又f′(x)=3x2+2bx+c,于是
f(1)=1
f′(1)=-12
,由此能够求出函数y=f(x)的所有极值之和.
解答:(Ⅰ)证明:当b=0时,f(x)=x3+cx+d,
f′(x)=3x2+c.
f(0)=d,f′(0)=c.…(2分)
曲线y=f(x)与其在点(0,f(0))处的切线为y=cx+d.
y=x3+cx+d
y=cx+d
,消去y,得x3=0,x=0.
所以曲线y=f(x)与其在点(0,f(0))处的切线只有一个公共点即切点.…(5分)
(Ⅱ)解:由已知,切点为(1,1).
又f′(x)=3x2+2bx+c,于是
f(1)=1
f′(1)=-12

1+b+c+d=1
3+2b+c=-12

解得c=-2b-15,d=b+15.
从而f(x)=x3+bx2-(2b+15)x+b+15.…(8分)
y=x3+bx2-(2b+15)x+b+15
12x+y-13=0

消去y,得x3+bx2-(2b+3)x+b+2=0.
因直线12x+y-13=0与曲线y=f(x)只有一个公共点(1,1),
则方程x3+bx2-(2b+3)x+b+2
=(x-1)[x2+(b+1)x-b-2]
=(x-1)(x-1)(x+b+2)
故b=-3.…(10分)
于是f(x)=x3-3x2-9x+12,
f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值17 极小值-15
由此知,函数y=f(x)的所有极值之和为17-15=2.…(12分)
点评:本题考查曲线与其切线只有一个公共点的证明,考查函数所有的极值之和的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意导数性质的灵活运用.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年河北省唐山市高三(上)摸底数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

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