分析 (Ⅰ)连接B1E,C1E,则直线B1E即为所求直线l,推导出B1E⊥CC1,B1E⊥C1E,由此能证明l⊥CE.
(Ⅱ)连接B1C,则平面CEB1即为平面α,推导出B1E⊥C1F,C1F⊥平面α,从而直线CC1和平面α所成角为∠FCC1,由此能求出直线CC1和平面α所成角.
解答 解:(Ⅰ)如图所示,连接B1E,C1E,则直线B1E即为所求直线l…(3分)
∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面A1B1C1D1
∴B1E⊥CC1…(4分)
∵B1C1=2A1B1=4,E是A1D1的中点
∴B1E⊥C1E…(5分)
又CC1∩C1E=C1
∴B1E⊥平面CC1E
∴B1E⊥CE,即l⊥CE…(6分)
(Ⅱ)如图所示,连接B1C,则平面CEB1即为平面α
过点C1作C1F⊥CE于F…(7分)
由(Ⅰ)知B1E⊥平面CC1E,故B1E⊥C1F
∵C1F⊥CE,CE∩B1E=E
∴C1F⊥平面CEB1,即C1F⊥平面α…(9分)
∴直线CC1和平面α所成角为∠FCC1…(10分)
∵在△ECC1中,$E{C_1}=C{C_1}=2\sqrt{2}$,且EC1⊥CC1
∴$∠FC{C_1}={45^0}$…(11分)
∴直线CC1和平面α所成角为45°.…(12分)
点评 本题考查过点垂直于已知直线的直线的作法与证明,考查线面角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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