Question

在平面直角坐标系中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），圆O：x²+y²=a²，且过点A（

a2

c

，0）所作圆的两条切线互相垂直．
（Ⅰ）求椭圆离心率；
（Ⅱ）若直线y=2

3

与圆交于D、E；与椭圆交于M、N，且DE=2MN，求椭圆的方程；
（Ⅲ）设点T（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点到点P的最远距离不大于5

2

，求椭圆C的短轴长的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由过点A（

a2

c

，0）作圆的两切线互相垂直，知OA=

2

a，由此能求出椭圆离心率．
（Ⅱ）由e=

2

2

，知椭圆C：

x2

2b2

+

y 2

b2

=1．由

x2+y2=a2 y=2 3

得x²=a²-12，所以DE=2

a2-12

，由

x2 2b2 + y2 b2 =1 y=2 3

得x²=2b²-24，所以MN=2

2b2-24

，由DE=2MN，得：a²-12=4（2b²-24）．由此能求出椭圆方程．
（Ⅲ）由点T（0，3）在椭圆内部，知b＞3．设P（x，y）为椭圆上任一点，则PT²=x²+（y-3）²=2b²-2y²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，其中，-b＜y＜b．由此入手能够求出椭圆C的短轴长的取值范围6＜b≤8．

解答：解：（Ⅰ）由条件：过点A（

a2

c

，0）作圆的两切线互相垂直，
∴OA=

2

a，即：

a2

c

=

2

a，
∴e=

2

2

．（3分）
（Ⅱ）∵e=

2

2

，
∴a²=2c²，a²=2b²，
∴椭圆C：

x2

2b2

+

y 2

b2

=1．（5分）

x2+y2=a2 y=2 3

得x²=a²-12，
∴DE=2

a2-12

，

x2 2b2 + y2 b2 =1 y=2 3

得x²=2b²-24，
∴MN=2

2b2-24

，（7分）
由DE=2MN，得：a²-12=4（2b²-24），
∴2b²-12=4（2b²-24），
解得：b²=14，a²=28，
∴椭圆方程为：

x2

28

+

y2

14

=1．（9分）
（Ⅲ）∵点T（0，3）在椭圆内部，∴b＞3，
设P（x，y）为椭圆上任一点，则
PT²=x²+（y-3）²=2b²-2y²+（y-3）²
=-（y+3）²+2b²+18，其中，-b＜y＜b，（12分）
∵b＞3，∴-b＜-3，
∴当y=-3时，PT²的最大值2b²+18．（14分）
依题意：PT≤5

2

，∴PT²≤50，
∴2b²+18≤50，∴0＜b≤4，
又∵b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8，
∴椭圆C的短轴长的取值范围6＜b≤8．（16分）

点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，求椭圆的短轴长的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．