Question

【题目】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则：
A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）；
M在线段PQ上，设M（0，y，2），0≤y≤2；
∴ ；
∴cosθ= = ；
设f（y）= ， ；
函数g（y）=﹣2y﹣5是一次函数，且为减函数，g（0）=﹣5＜0；
∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；
∴f（y）在[0，2]上单调递减；
∴y=0时，f（y）取到最大值 ．
故答案为： ．

首先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，M（0，y，2），从而可求出向量 的坐标，由cosθ= 得到 ，对函数 求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cosθ的最大值．