Question

已知函数g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，f(x)=mx-

m-1+2e

x

-lnx，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞)上为增函数，知g′(x)=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出θ的值．
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=mx-

m-2e

x

-2lnx，当m≤0时，在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立；当m＞0时，F‘(x)=m+

m+2e

x2

-

2

x

=

mx2-2x+m+2e

x2

，由x∈[1，e]，知2e-2x≥0，mx²+m＞0，由此能求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵数g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞)上为增函数，
∴g′(x)=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故要使sinθ•x-1≥0在[1，+∞）恒成立，
只需sinθ•1-1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，
∵θ∈（0，π），∴θ=

π

2

．
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=mx-

m-2e

x

-2lnx，
①当m≤0时，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
∴在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立．
②当m＞0时，F‘(x)=m+

m+2e

x2

-

2

x

=

mx2-2x+m+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，
mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，
F(x) max=F(e)=me-

m

e

-4，
只要me-

m

e

-4＞0，
解得m＞

4e

e2-1

．
故m的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．