Question

已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，

NA

+

NB

+

NC

=

O

且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，则点O、N、P依次是△ABC的

外心

、

重心

、

垂心

．

Answer 1

分析：根据三角形外接圆的性质，结合|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|可得O为△ABC的外心；根据向量加法的平行四边形法则和向量共线定理，可证出N为△ABC的三条中线的交点，得N为△ABC的重心；根据向量数量积的运算性质与向量减法法则，结合

PA

•

PB

=

PB

•

PC

证出

CA

⊥

PB

，同理

CB

⊥

PA

且

AB

⊥

PC

，因此P为P为△ABC的垂心．

解答：解：①若|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，则点O到A、B、C三点的距离相等，
∴O为△ABC的外接圆的圆心，即外心；
②若

NA

+

NB

+

NC

=

O

，则

NA

+

NB

=-

NC

，
以NA、NB为邻边作平行四边形NAGB，
可得GN、AB的交点E为AB的中点，且E、N、C三点共线．
因此，CE为△ABC的中线．同理可得BN、AN也在△ABC的中线上．
∴点N为△ABC的三条中线的交点，可得N为△ABC的重心；
③若

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，
可得

PA

•

PB

-

PB

•

PC

=0，即(

PA

-

PC

)•

PB

=0，
∴

CA

•

PB

=0，可得

CA

⊥

PB

，点P在AC边上的高所在直线上．
同理可得点P也在AB、BC边上的高所在直线上．
因此，P是△ABC三条高所在直线的交点，即得P为△ABC的垂心．
综上所述，点O、N、P依次是△ABC的外心、重心、垂心．
故答案为：外心、重心、垂心

点评：本题给出三角形中的点满足的向量式，求该点是三角形“五心”中的哪一个．着重考查了向量的加法、减法法则和向量数量积的运算性质等知识，考查了向量在几何中的应用，属于中档题．