Question

某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响．
（1）求客人游览2个景点的概率；
（2）设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布及数学期望．

Answer 1

解：（1）分别记“客人游览甲景点”、
“客人游览乙景点”和“客人游览丙景点”为A₁，A₂，A₃，
由题设条件知A₁，A₂，A₃相互独立，
且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，
则游览两个景点的概率为：
P（A₁•A₂•）+P（A₁A₃）+
=0.4×0.5×（1-0.6）+0.4×（1-0.5）×0.6+（1-0.4）×0.5×0.6
=0.08+0.12+0.18
=0.38．
（2）客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3．
相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，
所以ξ的可能取值为1，3．
P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（）
=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）×（1-0.5）×（1-0.6）
=0.24．
P（ξ=1）=1-0.24=0.76．
∴ξ的分布列为：

ξ	1	3
P	0.76	0.24

数学期望：Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．
分析：（1）分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”和“客人游览丙景点”为A₁，A₂，A₃，由题设条件知A₁，A₂，A₃相互独立，且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，则游览两个景点的概率为：P（A₁•A₂•）+P（A₁A₃）+，由此能够求出结果．
（2）客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3．相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（），由此能求出ξ的分布列和数学期望．
点评：本题考查离散型随机变量的期望和方差，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．