Question

（2007•广州一模）不等式组

x-y+2≥0 x+y+2≥0 2x-y-2≤0

所确定的平面区域记为D．若点（x，y）是区域D上的点，则2x+y的最大值是

14

； 若圆O：x²+y²=r²上的所有点都在区域D上，则圆O的面积的最大值是

4

5

π

．

Answer 1

分析：先依据约束条件画出平面区域，把问题转化为求出可行域内的直线在y轴上的截距最大值即可．对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域D内的点与原点（0，0）的距离的最大值，保证圆在区域D内，然后求出面积最大值．

解答：解：先根据约束条件画出可行域，
如图三角形ABC及其内部部分

x-y+2=0 2x-y-2=0

⇒

x=4 y=6

当直线z=2x+y过点A（4，6）时，
即当x=4，y=6时，（2x+y）_max=14．
阴影部分中离原点最近的距离为：

2 5

5

，
故r的最大值为：

2 5

5

，所以圆O的面积的最大值是：

4

5

π．
故答案为：14，

4

5

π．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．