Question

20．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）-1＜0的解集是$\left\{{\left.x\right|}\right.\left.{x＜-\frac{3}{2}或0≤x＜\frac{5}{2}}\right\}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，带入不等式解出．

解答 解：当x＞0时，-x＜0，
∴f（-x）=-x+2，
∵y=f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=x-2．
∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，x＞0}\\{0，x=0}\\{x+2，x＜0}\end{array}\right.$，
（1）当x＞0时，2（x-2）-1＜0，
解得0＜x＜$\frac{5}{2}$．
（2）当x=0时，-1＜0，恒成立．
（3）当x＜0时，2（x+2）-1＜0，
解得x＜-$\frac{3}{2}$．
综上所述：2f（x）-1＜0的解集是$\left\{{\left.x\right|}\right.\left.{x＜-\frac{3}{2}或0≤x＜\frac{5}{2}}\right\}$．
故答案为$\left\{{\left.x\right|}\right.\left.{x＜-\frac{3}{2}或0≤x＜\frac{5}{2}}\right\}$．

点评 本题考查了函数单调性与奇偶性，属于中档题．