【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥BD,底面ABCD是边长为a的菱形,∠BAD=120°,PA=b,AC与BD交于点O,M为OC的中点.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABCD;
(2)若∠PAC=90°,二面角O﹣PM﹣D的正切值为 ,求a:b的值.
【答案】
(1)证明:因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,
又PA⊥BD,PA∩AC=A,
所以BD⊥面PAC,
又因为 PD面ABCD,
所以 平面PAC⊥平面ABCD
(2)解:由∠PAC=90°可知PA⊥AC,
又由(1)可知平面PAC⊥平面ABCD
平面PAC∩平面ABCD=AC,
所以 PA⊥平面ABCD,
故如图,
以A为坐标原点,AD,AP所在直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系,
则P(0,0,b),D(0,a,0),M( , ,0),O( , ,0)
从而 =(0,a,﹣b), =( a, ,﹣b),
=(﹣ , ,0),
因为BD⊥面PAC,所以平面PMO的一个法向量为 =(﹣ , ,0),
设平面PMD的法向量为 =(x,y,z),
由 , ,得
,
令y=b,得x= ,z=a,即 ,
设 与 的夹角为θ,则二面角O﹣PM﹣D的大小与θ相等,
由 ,得
化简得 4b=3a,即a:b=4:3
【解析】(1)推导出AC⊥BD,PA⊥BD,由此能证明平面PAC⊥平面ABCD.(2)以A为坐标原点,AD,AP所在直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系,利用利用向量法能求出a:b的值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】教育部记录了某省2008到2017年十年间每年自主招生录取的人数为方便计算,2008年编号为1,2009年编号为2,,2017年编号为10,以此类推数据如下:
年份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人数 | 3 | 5 | 8 | 11 | 13 | 14 | 17 | 22 | 30 | 31 |
Ⅰ根据前5年的数据,利用最小二乘法求出y关于x的回归方程,并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值;
Ⅱ根据Ⅰ所得到的回归方程预测2018年该省自主招生录取的人数.
其中,
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设为彼此不重合的三个平面,为直线,给出下列结论:
①若 ,则 ②若,且 则
③若直线与平面内的无数条直线垂直,则
④若内存在不共线的三点到的距离相等,则
上面结论中,正确的序号为_______.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在极坐标系中,极点为O,点A的极坐标为(2, ),以OA为斜边作等腰直角三角形OAB(其中O,A,B按逆时针方向分布)
(1)求点B的极坐标;
(2)求三角形外接圆的极坐标方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量 =(2a,1), =(2b﹣c,cosC),且 ∥ .
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若 ,求b+c的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)为f(x)的导函数,且满足xf′(x)>f(x),则不等式(x﹣1)f(x+1)>f(x2﹣1)的解集是 .
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com