Question

（2012•烟台二模）设椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上焦点是F₁，过点P（3，4）和F₁作直线PF₁交椭圆于A、B两点，已知A（

1

3

，

4

3

）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点C是椭圆E上到直线PF₁距离最远的点，求C点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由A（

1

3

，

4

3

）和P（3，4）能求出直线PF₁的方程为：y=x+1，令x=0，得椭圆E的焦点为F₁（0，1）、F₂（0，-1），由椭圆的定义能求出椭圆E的方程．
（2）设与直线PF₁平行的直线l：y=x+m，由

y2 2 +x2=1 y=x+m

，得3x²+2mx+m²-2=0，再由根的判别式结合题设条件，能求出C点的坐标．．

解答：解：（1）由A（

1

3

，

4

3

）和P（3，4）得直线PF₁的方程为：y=x+1…（1分）
令x=0，得y=1，即c=1                                          …（2分）
椭圆E的焦点为F₁（0，1）、F₂（0，-1），
由椭圆的定义可知2a=|AF1|+|AF2|=

( 1 3 )2+( 4 3 -1)2

+

( 1 3 )2+( 4 3 +1)2

=2

2

…（4分）
∴a=

2

，b=1…（5分）
椭圆E的方程为

y2

2

+x2=1…（6分）
（2）设与直线PF₁平行的直线l：y=x+m…（7分），
由

y2 2 +x2=1 y=x+m

，消去y得3x²+2mx+m²-2=0…（8分）
△=（2m）²-4×3×（m²-2）=0，
即m2=3，m=±

3

…（9分）
要使点C到直线PF₁的距离最远，
则直线L要在直线PF₁的下方，所以m=-

3

…（10分）
此时直线l与椭圆E的切点坐标为(

3

3

，-

2 3

3

)，
故C(

3

3

，-

2 3

3

)为所求．   …（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和求点的坐标，具体涉及到椭圆的定义、直线方程的求法、椭圆的简单性质、根的判别式、直线与椭圆的位置关系等基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．