Question

（2013•德州二模）已知向量

a

=（2cosωx，-1），

b

=（

3

sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的表达式及最大值；
（Ⅱ）若在x∈[0，

π

2

]上f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由向量的数量积公式，结合三角恒等变换公式化简得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），由函数的周期算出ω的值，即可得到函数f（x）的表达式，进而利用三角函数的图象与性质求出函数的最大值；
（2）利用三角函数的图象与性质，算出当x∈[0，

π

2

]时y=2sin（2x+

π

6

）的最大值为2且最小值为-1，由此结合f（x）≥a恒成立，可得实数a小于或等于f（x）的最小值，由此即可得到本题的答案．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cosωx（

3

sinωx+cosωx）-1
=

3

sin2ωx+2cos²ωx-1=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）
∵f（x）的最小正周期为T=

2π

2ω

=π，解之得ω=1
∴函数f（x）的表达式为y=2sin（2x+

π

6

）；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴当x=

π

6

时，y=2sin（2x+

π

6

）的最大值为2；
当x=

π

2

时，y=2sin（2x+

π

6

）的最小值为-1
因此，若在x∈[0，

π

2

]上f（x）≥a恒成立，则a≤-1
即实数a的取值范围为（-∞，-1]．

点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期和最值，并讨论不等式恒成立的问题．着重考查了三角函数的图象与性质、向量数量积运算和不等式恒成立的理解等知识，属于中档题．