Question

7．函数y=x²-ax+3，x∈[0，3]的最大值为3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，再分当$\frac{a}{2}$≤0时，当$\frac{a}{2}$≥3，即a≥6时，当0＜$\frac{a}{2}$＜3即0＜a＜6时三种情况，分别利用函数在[0，3]上的最大值为3，求得a的范围，求并集从而得到a的范围．

解答 解：函数f（x）=x²-ax+3=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{1}{4}$a²的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
且在[0，3]的最大值为3，
当$\frac{a}{2}$≤0时，函数在[0，3]上递增，
则最大值为f（3）=12-3a=3，求得a=3（舍去）；
当$\frac{a}{2}$≥3，即a≥6时，函数在[0，3]上递减，
则最大值为f（0）=3，成立；
当0＜$\frac{a}{2}$＜3即0＜a＜6时，最大值为f（0）或f（3）中一个，
由f（0）=3成立若f（3）≤3，则a≥3．
综上可得，a的范围是a≥3．

点评 本题主要考查二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．