Question

（本大题18分）

阅读下面所给材料：已知数列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n–1+2，求数列的通项a_n。

解：令a_n=a_n–1=x，则有x=3x+2，所以x= –1，故原递推式a_n=3a_n–1+2可转化为：

a_n+1=3（a_n–1+1），因此数列{a_n+1}是首项为a₁+1，公比为3的等比数列。

根据上述材料所给出提示，解答下列问题：

已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n–1+4，

（1）求数列的通项a_n；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理；

（2）若记S_n=，求S_n;

（3）若数列{b_n}满足：b₁=10，b_n+1=100，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{b_n}的通项公式b_n。

Answer 1

（1） 令a_n=a_n–1=x，则有x=3x+4，所以x= –2，故原递推式a_n=3a_n–1+4可转化为：

a_n+2=3（a_n–1+2），因此数列{a_n+2}是首项为a₁+2，公比为3的等比数列。

所以a_n+2=（a₁+2）´3^n–1，所以a_n=3ⁿ–2；…………………………………………2分

对于a_n=3a_n–1+4，可以看成把直线y=3x+4的方程改写成点斜式方程，

该点就是它与直线y=x的交点。……………………………………………………4分

（2）令d_k==

=（）²=（）²（–）……………………………7分

S_n==d₁+d₂+……+d_n

=（）²[（）+（）+（）+……+（）]

=（）²[]………………………………………………………………10分

S_n=（）²……………………………………………………………………12分

（3）数列{b_n}满足：b₁=10，b_n+i=100，所以b_n>0，lg b_n+i =lg（100）

令c_n=lgb_n，则c_n+1=3c_n+2，………………………………………………………14分

所以c_n+2=3（c_n–1+2），因此数列{c_n+2}是首项为c₁+2，公比为3的等比数列。

所以c_n+2=（c₁+2）´3^n–1，所以c_n=3ⁿ–2，…………………………………………16分

lg b_n=c_n=3ⁿ–2；b_n=…………………………………………………………18分