Question

已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1

(1)求椭圆的方程

(2)若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.

【解析】

试题分析：（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得

{ 解得a=4,c=3,

所以椭圆C的方程为

（2）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得

而，故     ①

由点P在椭圆C上得        

代入①式并化简得

所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.

考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；轨迹方程的求法。

点评：求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；②寻找动点P（x，y）所满足的条件；③用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；④化简方程f（x，y）=0为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证。