Question

设矩阵M=（

1 2 4 3

）．
（Ⅰ）已知曲线C₁：y-x+1=0在矩阵M^-1对应变换作用下得到曲线C₂，求曲线C₂的方程； 
（Ⅱ）已知

α

=（

5 4

），计算M³

α

的值．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）求出MM^-1，设P（x₀，y₀）是曲线C₁：y-x+1=0上任意一点，则点P（x₀，y₀）在矩阵MM^-1对应的变换下变为点P′（x，y），根据矩阵变换确定坐标之间的关系，即可求曲线C₂的方程； 
（Ⅱ）求出特征值，特征向量，即可计算M³

α

的值．

解答：解：（Ⅰ）MM^-1=

- 3 5 2 5 4 5 - 1 5

设P（x₀，y₀）是曲线C₁：y-x+1=0上任意一点，则点P（x₀，y₀）在矩阵MM^-1对应的变换下变为点P′（x，y）
则有

- 3 5 x0+ 2 5 y0=x 4 5 x0- 1 5 y0=y

，∴

x0=x+2y y0=4x+3y

，
∴4x+3y-x-2y+1=0，即3x+y+1=0；
（Ⅱ）f（λ）=

.

λ-1 -2 -4 λ-3

.

=0，可得λ=-1或5，
属于λ=-1的特征向量为

1 -1

，属于λ=5的特征向量为

1 2

，

α

=（

5 4

）=2

1 -1

+3

1 2

，
∴M³

α

=2⁴

1 -1

+3⁴

1 2

=

100 152

．

点评：本题考查几种特殊的矩阵变换，考查特征值，特征向量，体现了方程的数学思想．属于基础题．