Question

11．当x∈[0，2]时，函数f（x）=ax²+4（a-1）x-3在x=0时取得最大值，则a的取值范围是（-∞，$\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 分a＞0，a=0，a＜0三种情况进行讨论，然后根据x的范围结合函数的单调性进行求解．

解答 解：（1）当a＞0时，对称轴为x=$\frac{2-2a}{a}$，
要使x=0时取得最大值，则$\frac{2-2a}{a}$≥1或$\frac{2-2a}{a}$≥2，
解得0＜a≤$\frac{2}{3}$或0＜a≤$\frac{1}{2}$；
（2）当a=0时，f（x）=-4x-3，x=0时取得最大值，成立；
（3）当a＜0时，对称轴为x=$\frac{2-2a}{a}$＜0，区间[0，2]为减区间，
则x=0时取得最大值．
综上所述a的取值范围为（-∞，$\frac{2}{3}$]．
故答案为：（-∞，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．