Question

观察数列：

①1，－1，1，－1…；

②正整数依次被4除所得余数构成的数列1，2，3，0，1，2，3，0，…；

③

(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{a_n}，如果________，对于一切正整数n都满足________成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列；

(2)若数列{a_n}满足a_n+2＝a_n+1－a_n，n∈N⁺，S_n为{a_n}的前n项和，且S₂＝2008，S₃＝2010，证明{a_n}为周期数列，并求S₂₀₀₈；

(3)若数列{a_n}的首项，且a_n+1＝2a_n(1－a_n)，n∈N^*，判断数列{a_n}是否为周期数列，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)存在正整数； 　　(2)证明：由 　　 　　所以数列{an}是以T＝6为周期的周期数列 　　由 　　于是 　　又， 　　所以， 　　(3)当p＝0时，{an}是周期数列，因为此时an＝0(n∈N*)为常数列，所以对任意给定的正整数T及任意正整数n，都有an+T＝an，符合周期数列的定义． 　　当是递增数列，不是周期数列． 　　下面用数学归纳法进行证明： 　　①当 　　所以， 　　且 　　所以 　　②假设当n＝k时，结论成立，即 　　则 　　所以当n＝k＋1时，结论也成立． 　　根据①、②可知，{an}是递增数列，不是周期数列．