分析 (1)运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式,化简即可得到角A;
(2)要求t的最小值,即要求BE与CF比值的最大值,由AB与AC的关系,用AB表示出AC,在△ABE中,由余弦定理表示BE2,在△ACF中,利用余弦定理表示出CF2,并表示出BE与CF的平方比,分离出常数,由A为三角形的内角,得到A的范围,表示比值求出最大值,即可得到t的取值范围.
解答 解:(1)acosC=(2b-c)cosA,即为:acosC+ccosA=2bcosA,
由正弦定理,可得,sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA,
sin(A+C)=2sinBcosA即sinB=2sinBcosA,
∵B∈(0,π),
∴sinB≠0,
∴cosA=$\frac{1}{2}$,
∵A∈(0,π),
∴A=$\frac{π}{3}$;
(2)根据题意画出图形,如图所示:
∵3c=2b,可得:3AB=2AC,
∴AC=$\frac{3}{2}$AB,
又E、F分别为AC、AB的中点,
∴AE=$\frac{1}{2}$AC,AF=$\frac{1}{2}$AB,
∴在△ABE中,由余弦定理得:BE2=AB2+AE2-2AB•AE•cosA
=AB2+($\frac{3}{4}$AB)2-2AB•$\frac{3}{4}$AB•cosA=$\frac{25}{16}$AB2-$\frac{3}{2}$AB2cosA,
在△ACF中,由余弦定理得:CF2=AF2+AC2-2AF•AC•cosA
=($\frac{1}{2}$AB)2+($\frac{3}{2}$AB)2-2•$\frac{1}{2}$AB•$\frac{3}{2}$AB•cosA=$\frac{5}{2}$AB2-$\frac{3}{2}$AB2cosA,
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{\frac{25}{16}A{B}^{2}-\frac{3}{2}A{B}^{2}cosA}{\frac{5}{2}A{B}^{2}-\frac{3}{2}A{B}^{2}cosA}$=$\frac{\frac{25}{16}-\frac{3cosA}{2}}{\frac{5-3cosA}{2}}$,
∴$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{\frac{\frac{25}{16}-\frac{3}{2}cosA}{\frac{5}{2}-\frac{3cosA}{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{15}{40-24cosA}}$,
∵当cosA取最小值时,$\frac{BE}{CF}$比值最大,
∴当A→π时,cosA→-1,此时$\frac{BE}{CF}$达到最大值,最大值为 $\sqrt{1-\frac{15}{40+24}}$=$\frac{7}{8}$,
则 $\frac{BE}{CF}$<t恒成立,t的最小值为$\frac{7}{8}$.
点评 本题主要考查了正弦定理和面积公式的运用,考查了两角和差的正弦公式和诱导公式的运用,考查了余弦定理,余弦函数的定义域与值域,以及不等式恒成立时满足的条件,余弦定理建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | $\frac{7}{3}$ | C. | 1或$\frac{7}{3}$ | D. | 1或2 |
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