Question

【题目】二次函数y=ax2+x+1（a＞0）的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1 ， x2 ．
（1）证明：（1+x1）（1+x2）=1；
（2）证明：x1＜﹣1，x2＜﹣1；
（3）若x1 ， x2满足不等式|lg |≤1，试求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意得：

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∴（1+x1）（1+x2）=x1x2+（x1+x2）+1=1

（2）证明：由△=1﹣4a＞0，解得：a＜ ，

∵（1+x1）（1+x2）=1＞0，

而（1+x1）（1+x2）=x1+x2+2=﹣ +2＜﹣4+2＜0，

∴1+x1＜0，1+x2＜0，

故x1＜﹣1，x2＜﹣1

（3）解：x2=﹣ ，|lg |≤1，

∵ ≤ ≤10，

∴ ≤﹣（1+x1）≤10，

∴﹣11≤x1≤﹣ ，

a= =﹣（ + ）=﹣ + ，

当 =﹣ 时，a的最大值是 ，

当 =﹣ 时，a的最小值是 ，

故a的范围是[ ， ]．

【解析】1、由根与系数的关系可得、x1+x2= ,x1x2= ,∴（1+x1）（1+x2）=x1x2+（x1+x2）+1=1得证。
2、由第一问的结果可得（1+x1）（1+x2）=x1+x2+2= +2＜﹣4+2＜0，∴1+x1＜0，1+x2＜0，即x1＜﹣1，x2＜﹣1。
3、由,可得 , ≤﹣（1+x1）≤10，∴﹣11≤x1≤-,当.
当时，a的最大值是， 当时a的最小值是 ，a的范围是[ ， ]
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．