Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2

2

，侧棱长为4，E、F分别是棱AB，BC的中点，EF与BD相交于G．
（1）求证：平面EFB₁⊥平面BDD₁B₁；
（2）求点B到平面B₁EF的距离．

Answer 1

（1）证明：∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，根据正四棱柱的性质EF⊥BB₁，BD∩BB₁=B，可知EF⊥平面BDD₁B₁，…（3分）
又EF?面B₁EF，∴面EFB₁⊥面BDD₁B₁…（7分）
（2）可知∴面EFB₁⊥面BDD₁B₁，在平面BDD₁B₁中，作BH⊥B₁G于为H，∵面EFB₁⊥面BDD₁B₁，面EFB₁∩面BDD₁B₁=B₁G
∴BH⊥面B₁EF，BH就是点B到平面B₁EF的距离…（10分）
在Rt△B₁BG中，B₁B=4，BG=1，BH⊥B₁G⇒BH=

BG•BB1

B1G

=

4 17

17

…（12分）