Question

15．已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0的圆心C在直线x+y-1=0上，且点C在第二象限，半径为$\sqrt{2}$．  
（1）求圆C的方程； 
（2）斜率为2的直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，求直线l方程．

Answer 1

分析 （1）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C关于直线x+y-1=0对称，得到圆心在直线上，把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于$\sqrt{2}$得到方程，联立求出D和E，即可写出圆的方程；
（2）设所求直线l：y=2x+m，即2x-y+m=0，根据勾股定理列出式子求出m即可．

解答 解：（1）由题意，可设点C（a，1-a）（a＜0），∴$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{D}{2}=a}\\{-\frac{E}{2}=1-a}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{D=-2a}\\{E=2a-2}\end{array}}\right.$
故圆C方程为：x²+y²-2ax+（2a-2）y+3=0，
∴${r^2}=\frac{{{{（{-2a}）}^2}+{{（{2a-2}）}^2}-4×3}}{4}=2{a^2}-2a-2$
又$r=\sqrt{2}$，∴2a²-2a-2=2解得a=-1或a=2（舍），
∴圆C方程为：x²+y²+2x-4y+3=0；
（2）由（1）得圆C方程为（x+1）²+（y-2）²=2，圆心C（-1，2）
设所求直线l：y=2x+m，即2x-y+m=0
圆心C到直线l的距离为d，由|AB|=2而$\left|{\left.{AB}\right|}\right.=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}$，可得d=1，
∴$\frac{{\left|{\left.{-2-2+m}\right|}\right.}}{{\sqrt{5}}}=1$，解得$m=4±\sqrt{5}$，
∴直线l方程为$y=2x+4±\sqrt{5}$

点评 考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力，理解直线与圆相交时弦长的计算方法是关键．