Question

某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入．已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n－1年销售收入a_n与a_n－1(单位：万元)满足关系式：a_n＝a_n－1＋－100.
(1)设今年为第1年，求第n年的销售收入a_n；
(2)依上述预测，该企业前几年的销售收入总和S_n最大．

Answer 1

（1）a_n＝500－－100(n－1)
（2）前5年

解：(1)由题意可知a_n－a_n－1＝－100(n≥2)，
a_n－1－a_n－2＝－100，
…
a₃－a₂＝－100，
a₂－a₁＝－100，
a₁＝250＝.
以上各式相加得，
a_n＝500(＋＋…＋)－100(n－1)
＝500·－100(n－1)
＝500－－100(n－1)．
(2)要求销售收入总和S_n的最大值，即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和．
∵a_n＝500－－100(n－1)，
∴要使a_n≥0，即500－－100(n－1)≥0，
也就是＋≤1.
令b_n＝＋，
则b_n－b_n－1＝＋－－＝－，
显然，当n≥3时，b_n>b_n－1，
而b₅<1，b₆>1，
∴a₅>0，a₆<0.
∴该企业前5年的销售收入总和最大．