Question

9．在△ABC中，证明：cosA+cosB+cosC≤$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 把不等式的左边利用和差化积公式化为cosA+2cos$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，此结果小于或等于 1-2${sin}^{2}\frac{A}{2}$+2sin$\frac{A}{2}$=-2${（sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，再利用二次函数的性质求出最大值，即可证得结论成立．

解答 证明：△ABC中，∵cosA+cosB+cosC=cosA+2cos$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$ 
≤cosA+2cos$\frac{B+C}{2}$=1-2${sin}^{2}\frac{A}{2}$+2cos$\frac{π-A}{2}$=1-2${sin}^{2}\frac{A}{2}$+2sin$\frac{A}{2}$=-2${（sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
故有 cosA+cosB+cosC≤$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查和差化积公式，余弦函数的值域，二次函数的性质，属于中档题．