Question

已知函数f（x）=

2x+1

2x-1

，求f（x）的值域以及在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=

2x+1

2x-1

，可变为2^x=

y+1

y-1

＞0，解不等式即可求解．
（2）f（x₁）-f（x₂）=1+

2

2x1-1

-1-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

，判断每个因式符号即可判断差的符号．最后根据单调性的定义判断．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

2x+1

2x-1

，
∴函数f（x）=

2x+1

2x-1

=1+

2

2x-1

，
得：2^x=

y+1

y-1

＞0，解得；y＞1或y＜-1，
所以f（x）的值域：（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）∵设0＜x₁＜x₂，∴1＜2 x1＜2 x2，2 x1-1＞0，2 x2-1＞0，2 x2-2 x1＞0
f（x₁）-f（x₂）=1+

2

2x1-1

-1-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），∵0＜x₁＜x₂，∴在（0，+∞）上的单调递减．

点评：本题考查了指数函数的单调性的运用，借助指数函数的性质，判断有关的函数的单调性，值域问题，主要是把函数解析式的分子分离变形．