Question

7．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，前n项的平方和为T_n，
（1）若T_n=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），求S_n；
（2）设数列{na_n}的前n项和为R_n，且满足2R_n=（2n+1）S_n-T_n，求数列{a_n}的通项．

Answer 1

分析 （1）各项均为正数的数列{a_n}的前n项的平方和为T_n=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），当n≥2时，T_n-1=$\frac{1}{3}$（4^n-1-1），相减可得a_n，再利用等比数列的前n项合格是即可得出S_n．
（2）2R_n=（2n+1）S_n-T_n，当n≥2时，2R_n-1=（2n-1）S_n-1-T_n-1，相减可得：${S}_{n}=\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$．再利用递推关系即可得出a_n．

解答 解：（1）∵各项均为正数的数列{a_n}的前n项的平方和为T_n=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），
∴当n≥2时，T_n-1=$\frac{1}{3}$（4^n-1-1），相减可得：${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-{4}^{n-1}）$=4^n-1；
当n=1时，${a}_{1}^{2}$=$\frac{1}{3}×（4-1）$，解得a₁=1．
a_n＞0．
∴a_n=2^n-1．
∴S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
（2）∵2R_n=（2n+1）S_n-T_n，
∴当n≥2时，2R_n-1=（2n-1）S_n-1-T_n-1，
相减可得：2na_n=（2n-1）a_n+2S_n-${a}_{n}^{2}$，
化为${S}_{n}=\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$．
当n=1时，$2{a}_{1}=3{a}_{1}-{a}_{1}^{2}$，a₁＞0，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$-$\frac{{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}}{2}$，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
由于a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项与公差都为1．
∴a_n=1+（n-1）=n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．