Question

10．已知f（m）=（3m-1）a+b-2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则a+b的最大值是$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 把已知函数解析式变形，结合当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，得到关于a，b的约束条件，然后利用线性规划知识求得a+b的最大值．

解答 解：f（m）=（3m-1）a+b-2m=（3a-2）m-a+b，
∵当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-a+b≤1}\\{f（1）=2a+b-2≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1≥0}\\{2a+b-3≤0}\end{array}\right.$．
画出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{2a+b-3=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{2}{3}，\frac{5}{3}$），
令z=a+b，化为b=-a+z，
由图可知，当直线b=-a+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为$\frac{2}{3}+\frac{5}{3}=\frac{7}{3}$．
故答案为：$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题．