Question

已知动点P与双曲线

x2

2

-

y2

3

=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为6．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）

PF1

•

PF2

=3，求△PF₁F₂的面积；
（3）若已知D（0，3），M、N在曲线C上，且

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出焦点坐标，根据动点P到两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值6且6＞2

5

，可得动点P的运动轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆；再求出对应的a，b，c即可找到动点P的轨迹C的方程；
（2）先设出点P的坐标，代入

PF1

•

PF2

=3，得到关于点P的坐标的一个方程；再结合点P的轨迹C的方程可求出点P的纵坐标的绝对值；最后代入三角形的面积计算公式即可；
（3）设出直线MN的方程以及点M，N的坐标，联立直线方程与曲线C的对应方程，根据两者有公共点，可以求出k的取值范围以及点M，N的坐标与k的关系；再结合

DM

=λ

DN

，求出点M，N的坐标与λ的之间的关系；最后通过消去M，N的坐标来求实数λ的取值范围．

解答：解：（1）由双曲线

x2

2

-

y2

3

=1的两个焦点：F₁、F₂．
可知F₁（-√5，0），F₂（√5，0）
∵动点P到两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值6且6＞2

5

∴动点P的运动轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆
∴c=

5

，a=3，b²=a²-c²=4．
∴动点P的轨迹C的方程：

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）设P（x，y），则

PF1

=（-

5

-x，-y）；

PF2

=（

5

-x，-y）；
∴

PF 1

•

PF 2

=x²-5+y²=3．
∵点P的轨迹C的方程：

x2

9

+

y2

4

=1．
∴

x2-5+y2=3 x2 9 + y2 4 =1

?y²=

4

5

?|y|=

2 5

5

．
∴S_△=

1

2

|F₁F₂|•|y|=

1

2

×2

5

×

2 5

5

=2．
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直线MN的方程为y=kx+3代入 

x2

9

+

y2

4

=1消去x整理得
：（4+9k²）x²+54kx+45=0
∵△=54×54k²-4×45（4+9k²）≥0
∴k²≥

5

9

…①
∴x₁+x₂=

-54k

4+9k2

…②，
x₁•x₂=

45

4+9k2

…③
∵

DM

=λ

DN

，
∴x₁=λx₂…④
由②③④并消去x₁与x₂…并整理得：

(1+λ)2

λ

=

324k2

20+45k2

再由①可得4≤

(1+t)2

t

＜

36

5

解得

1

5

≤t≤5
当k不存在时此时MN为短轴容易得t=

1

5

或5
综上可知λ取值范围为[

1

5

，5]

点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点，一般是以压轴题的形式出现．