Question

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）是函数f（x）的一个“亲密函数”，现有如下的命题：
（1）对于给定的函数f（x），其“亲密函数”有可能不存在，也可能有无数个；
（2）g（x）=2x是f（x）=2^x，的一个“亲密函数”；
（3）定义域与值域都是R的函数f（x），不存在“亲密函数”．
其中正确的命题是（　　）

A．（1）

B．（2）

C．（1）（2）

D．（1）（3）

Answer 1

分析：对于（1），若取f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1），均满足“亲密函数”函数的定义，故函数f（x）的“亲密函数”有无数个，而y=tanx，y=lgx无“亲密函数”由此可判断（1）
对于②，即x=

3

2

时，②错；
对于③，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故错．
抽象的背后总有具体的模型，我们可以通过具体的函数的研究，进行合理地联想．

解答：解：对于（1），若f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1），
均是它的一个亲密函数，有无数个，
再如y=tanx，y=lgx就没有亲密函数，
∴命题（1）正确、
对于（2），∵当x=

3

2

时，g（

3

2

）=3，f（

3

2

）=

8

=2

2

，
∴f（x）＜g（x），
∴g（x）=2x不是f（x）=2^x的一个亲密函数，故错误；
对于③如f（x）=2x+3存在一个亲密函数y=2x+1，故错误；
故仅有（1）正确
故选A．

点评：本题是以抽象函数为依托，考查学生的创新能力，属于较难题，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．